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UNIDADES DE ESPACIO.
Quizás la primera unidad de medida que necesitó el
hombre para expresar el mundo que lo rodea y en el que
vive, fue la unidad de longitud.
La longitud es una medida de espacio. Para
trasladarse de un lugar a otro, necesitaba recorrer
un espacio, caminar, dar determinado número de pasos.
Cuando aprendió a contar, pudo determinar el número de
pasos que necesitaba dar para ir de un lugar a otro.
El metro (en el sistema métrico) o la vara (en el
sistema inglés), equivalentes aproximadamente a la
distancia que se recorre al dar un paso, fue quizás su
primera unidad de medida.
Para expresar una longitud, es decir la distancia
existente entre dos puntos, dijo que tal distancia (l)
eran tal número de pasos, de metros (o de varas).
Es decir expresó la longitud con un número (número
abstracto), que significa la relación entre dicha
longitud y la longitud de su unidad de medida.
O sea el número de veces que su unidad de medida está
contenida en dicha longitud (l).
Su unidad de medida, tendría que ser la misma para
todos, es decir una unidad de medida standard, que no
cambiara y que fuera fácilmente reproducible.
Una persona puede dar pasos más grandes que otra, o la
vara, que corresponde a 3 pies podría ser de diferente
tamaño, dependiendo del tamaño del pie de la persona.
La longitud de una línea, por ejemplo la distancia de
su casa al río, es la misma independientemente de la
unidad que escoja para medirla, ya sean: pasos,
metros, varas, pies, o pulgadas.
El número que representa dicha longitud, será
diferente, dependiendo de la unidad que se escoja en
su medición.
Será tanto más grande, cuanto la dimensión de la
unidad de medida sea más chica, es decir: los números
abstractos que representan la longitud, son
inversamente proporcionales a las magnitudes de las
dimensiones de las unidades utilizadas.
O sea, que si medimos dicha longitud en metros, el
número correspondiente (lm), será más chico que si
medimos esa misma longitud en pies (lp).
Si llamamos Lm a la dimensión de la longitud de un
metro y Lp a la dimensión de la longitud de un pié,
resulta que:
lm x Lm = lp x LP
de otra forma:
Lm/Lp = lp/lm
UNIDADES DE MASA Y TIEMPO.
Las mismas consideraciones podemos aplicar a la masa
de un cuerpo, expresándola en unidades tales como
kilogramos, libras, etc., o al tiempo, expresado en
horas, minutos o segundos.
Es decir:
mgMg = mkgMkg = mlbMlb
y
thTh = tmTm = tsTs
Donde las letras mayúsculas representan las
dimensiones de las unidades y las minúsculas el número
de veces que dichas unidades están contenidas en las
magnitudes consideradas.
Las unidades fundamentales de longitud, masa y tiempo,
eran suficientes para definir todas las magnitudes o
dimensiones de todas las unidades derivadas para la
resolución de todos los problemas de índole mecánica
que se presentaban, hasta que se descubrió la
Electricidad.
Cada una de estas tres unidades fundamentales, es en
sí misma, completamente arbitraria, aunque se hayan
establecido a partir de hechos observables en nuestro
ambiente físico.
Aunque Galileo utilizaba el número de pulsaciones de
su muñeca, para determinar el periodo de oscilación de
los péndulos y la caída de cuerpos por planos
inclinados, el número de pulsaciones en determinado
tiempo varía de una a otra persona.
Las unidades se escogieron partiendo de la
consideración que cada unidad pudiera ser reproducida,
sin la posibilidad de un cambio caprichoso.
Así en el ambiente científico se escogió el sistema
cegesimal (cgs), con las unidades de centímetro, gramo
y segundo.
El centímetro, unidad de longitud es la centésima
parte del metro, el cual originalmente se definió como
la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano
terrestre y se marcó el "metro patrón" por Borda, con
dos líneas trazadas en una varilla de platino iridiado
a cero grados, que se depositó en el Instituto de
Sevres el 22 de junio de 1799.
Posteriormente Clarke, encontró que había un error en
dicha medida ya que la longitud de la cuarta parte del
meridiano que pasa por París es de 10'001,869 metros.
No obstante, en la Convención Internacional del metro,
se convino en tomar el "metro patrón", del que se
sacaron copias en barras de aleación de platino e
iridio, mismas que se distribuyeron a diferentes
naciones.
Con el avance de la tecnología se han ido encontrando
formas de hacer mediciones más precisas, de tal forma
que actualmente, (desde octubre de 1960) el metro se
considera como 1'650,763.73 veces la longitud de la
línea naranja del espectro del krypton 86.
El gramo, unidad de masa, se tomó como la milésima
parte de un "kilogramo patrón", y corresponde
(aproximadamente) a la masa de agua a 4 grados
centígrados en París, contenida en un cilindro de un
decímetro cúbico, construido de platino y que se
conserva en el Archivo de París.
El descubrimiento de Urey en 1932, del hidrógeno
pesado, invalidó esta medida, pero el gramo original,
la milésima parte del Kilogramo Patrón (preservado en
el Instituto de Pesas y Medidas de Sevres), ha servido
el propósito de referencia, tal como si la relación se
hubiera conservado.
El segundo, que se había tomado como la 1/86,400 del
día solar medio, y que más tarde se definió como
1/31'556,925.974 del tiempo equinoccial (de equinoccio
a equinoccio) del trópico del año 1900, desde la
Convención de Pesas y Medidas celebrada en París en
1967, se considera como 9,192'631,730 vibraciones de
la molécula de Cesio 133.
De cualquier forma todas estas medidas son arbitrarias
y convencionales, por estar sujetas a las leyes de la
relatividad y dependen por lo tanto del punto y
velocidad del lugar donde se midan.
Por ejemplo, la molécula de Cesio 133, no vibrará a la
misma velocidad en la superficie de la Tierra que en
la superficie de la Luna, o en una nave en el espacio
que se mueva a gran velocidad, por ser diferente la
Gravedad en dichos lugares.
Puesto que las unidades establecidas son arbitrarias,
sus equivalentes correspondientes en los diferentes
sistemas de medida, pueden establecerse solamente por
comparación directa.
DIMENSIONES DE UNIDADES DERIVADAS EN SISTEMAS MECÁNICOS:
A.- FUERZA.
Una fuerza, de acuerdo a la tercera ley de Newton,
está expresada por la ecuación:
f = ma = m x (dv/dt)
Donde "f" es la fuerza requerida para producir la
aceleración "a", cuando actúa constantemente sobre la
masa "m".
Puesto que "a" es una derivada de la velocidad
respecto al tiempo y la velocidad tiene la naturaleza
de una longitud dividida por el tiempo, se deduce que:
[F] = ML / T2
Esta ecuación muestra que la fuerza y la masa son
inherentemente diferentes, puesto que su relación es
una aceleración y no un número abstracto, que sería si
dichas cantidades fueran de la misma naturaleza
intrínseca.
Esta distinción se enfatiza en el sistema métrico,
asignando a las unidades de fuerza los nombres de dina
y newton, en el sistema inglés pocas veces se utiliza
el nombre de "poundal" dado a la unidad de fuerza.
Por ejemplo: si una masa de 1,000 kg (2,200 lbs), se
acelera a 1m / seg (3.28 ft / sec ), la fuerza
requerida es:
1,000 x 1 = 1,000 newtons o
2,200 x 3.28 = 7,216 poundals
No obstante en la práctica, se acostumbra convertir
estos valores de fuerza en kg equivalentes o lbs
equivalentes.
Quiere esto decir, el número de unidades de masa que
experimentarían la misma fuerza en el campo
gravitacional de la Tierra.
Puesto que la fuerza gravitacional de una masa está
dada por la ecuación:
f = mg,
donde g = 9.81 m/seg en el sistema mks y g = 32.2 ft/sec
en el sistema inglés.
Las fuerzas anteriores equivalen respectivamente a:
1,000 newtons / 9.81 = 102 kg. peso.
7,216 poundals / 32.2 = 224 lb. peso.
B.- TRABAJO O ENERGÍA.
Cuando una fuerza f actúa sobre una distancia l, el
trabajo realizado es proporcional a f x l, en general:
Trabajo = Constante x Fuerza x Distancia
En el sistema mks, la constante de proporcionalidad es
unitaria y no tiene dimensiones, de forma que:
Trabajo (joules) = Fuerza (newtons) x distancia (mts)
El trabajo o energía está representado
dimensionalmente por:
[W] = [F]L = ML2 T-2
donde la relación del joule (mks) al erg (cgs) es:
Joule / erg = (newton x metros) / (dina x centímetros)
(Mkg / Mg) x (Lm / Lcm)2 x (Ts / Ts)-2
=
103 x (102)2 = 107
,
mostrando que:
1 joule = 1 newton metro = 107 ergs.
C.- POTENCIA.
La potencia se define como el trabajo realizado en
determinado tiempo.
Las dimensiones de la potencia son:
[P] = [W]/T = ML2T-3
En el sistema mks, la unidad de potencia es el watt,
equivalente a 1 joule por segundo, o a 1 newton metro
por segundo.
En el sistema inglés, la unidad de potencia es el "horsepower"
(h.p.), definido como 550 pies libras por segundo,
donde la palabra "libra", significa la masa del objeto
que se está moviendo.
Para comparar las magnitudes del watt y del h.p., es
necesario convertir la masa en libras a un valor
comparable con la fuerza en newtons, lo que significa
que la masa en libras debe convertirse a Mlb x 32.2
Por lo tanto:
(P)hp/(P)watt=550(32.2Mlb/Mkg)x(Lft/Lm)2x(Ts/Ts)-2
= 550x32.2/2.2x(1/3.28)2
o sea:
1 hp = 746 watts.
DETERMINACIÓN DE LA DENSIDAD MEDIA DE LA TIERRA.
Newton nos dijo que los cuerpos se atraen en razón
directa a sus masas e inversamente al cuadrado de la
distancia que los separa, es decir:
F = f(m1m2/d2)
De dicha ecuación podemos deducir el valor de la
"constante de gravitación".
En el sistema cgs, dicho valor fue calculado por
Bailly por encargo de la Sociedad Astronómica de
Londres, quién repitió los experimentos de
Cavendish
por medio de la balanza de torsión, encontrando para
f un valor de 6.5 x 10-8 dinas.
Es decir: la masa de un gramo, atrae a otra masa de un
gramo con la fuerza de 0.000000065 dinas, cuando ambas
se encuentran separadas 1 cm de distancia.
Sabemos que el peso P de un cuerpo, está dado por su
masa m multiplicada por g (aceleración de la
gravedad), o sea:
P = mg
Pero el peso P, también está dado por la relación:
P =f(Mm/R2)
donde M es la masa de la Tierra, m la masa del cuerpo
y R el radio de la Tierra.
Si igualamos ambas expresiones y despejamos M, se
tiene:
M = gR2/f
Si substituimos los valores numéricos de g, R y f ,
resulta que la masa de la Tierra vale 6x1024
kg aproximadamente.
Si dividimos dicho valor por el volumen, obtenemos la
densidad media, que resulta 5.6 (aproximadamente).
O sea que la densidad media de la Tierra es
aproximadamente 5.6 veces mayor que la del agua.
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